Procedura analizy
Procedura rozwiązań podzielona jest na kilka kroków, obejmujących stworzenie globalnej macierzy sztywności, biorąc jednocześnie pod uwagę warunki podparcia (podpory utwierdzone, lub sprężyste w węzłach lub wzdłuż linii, podłoże sprężyste) oraz zbudowanie wektora obciążenia i analizę układu równań, przy wykorzystaniu metody Gaussa z rozkładem Choleskiego dla globalnej macierzy sztywności, która w tym przypadku jest symetryczna.
Następnie, wyznaczone w węzłach siatki wartości zmiennych pierwotnych - wz, φx i φy, wykorzystywane są do wyznaczenia sił wewnętrznych mx, my, mxy, vx i vy , wraz z wyprowadzeniem wartości m1, m2 oraz wartości reakcji zmobilizowanych w podporach.
Elementy 2D
Na jakość wyników obliczeń płyt, uzyskiwanych metodą elementów skończonych, znaczny wpływ ma rodzaj elementów płyty. Aktualne sformułowania korzystają z wariantu deformacyjnego metody elementów skończonych, dla uzyskania elementów trójkątnych i czworokątnych, określanych jako DKMT i DKMQ (Discrete Kirchhoff-Mindlin Triangle i Quadrilateral).
Formuły elementów płyty wprowadzone do programu oparte są na dyskretnej teorii Kirchoffa zginania płyt cienkich, co może być traktowane, jako specjalny przypadek teorii płyt Mindlina, opracowanej przy podanych poniżej założeniach:
- Ściskanie płyty w kierunku "z" jest nieznaczne w porównaniu z przemieszczeniem pionowym Wz
- Normalne do płaszczyzny środkowej płyty pozostają proste po deformacji, choć niekoniecznie muszą być normalnymi do zdeformowanej płaszczyzny środkowej płyty
- Naprężenie normalne σz jest nieznaczne w porównaniu z naprężeniami σx, σy
Elementy DKMT i DKMQ mają 9 i 12 stopni swobody i odpowiednio trzy niezależne przemieszczenia w każdym węźle:
Wz | - | sprężyste odchylenie w kierunku osi "z" |
φx | - | obrót wokół osi "x" |
φy | - | obrót wokół osi "y" |
Elementy spełniają poniższe kryteria:
- Macierz sztywności ma prawidłowy rząd (nie występuje generowanie stanów zerowych energii)
- Przechodzą testy poprawek programowych
- Są odpowiednie dla analizy płyt cienkich i grubych
- Mają dobre parametry konwergencji (zbieżności)
- Nie obciążają nadmiernie obliczeniowo
W przypadku dobrze wygenerowanej siatki, preferowane są elementy czworokątne, ponieważ lepiej spełniają powyższe kryteria w porównaniu do elementów trójkątnych.
Elementy1D
Płyta może zostać wzmocniona belkami formułowanymi na bazie jedno-wymiarowych elementów belkowych z wbudowanym skręcaniem, kompatybilnych z elementami płyty (szczegóły można znaleźć w literaturze). Zmiennymi podstawowymi są Wz, φx i φy , a odpowiadającymi siłami wewnętrznymi są M1, M2 i V3 (momenty skręcające i zginające oraz siła tnąca).
Belka charakteryzowana jest poprzez momenty bezwładności It i I2 (skręcanie, zginanie), pole powierzchni A i pole ścinania As. Parametry te można wyznaczyć w programie, w oparciu o zdefiniowany typ przekroju. W obliczeniach budowane są lokalne macierze sztywności 6x6, które następnie lokalizowane są w globalnej macierzy sztywności konstruckji.
Literatura:
I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part I: An extended DKT element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1859-1883 (1993).
I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part II: An extended DKQ element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1885-1908 (1993).
Z. Bittnar, J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, ČVUT, Praha, 1992.