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Berechnungsverfahren

Nach der Erstellung des globalen Steifheitsmatrix mit Rücksicht auf die Einbettung der Konstruktion (feste, freie oder elastische Einbettung an der Knoten oder entlang der Linien, elastischer Untergrund) und der Berechnung der rechten Seiten von der Belastung wird die resultierende Analyse des Gleichungssystems unter Verwendung die Gauß-Methode mit der Cholesky-Methode der Zerlegungen auf die untere und obere Dreiecksmatrix gelöst. In diesem Fall wird berücksichtigt, dass die Finite-Elemente-Methode symmetrisch ist und ein bandförmiges Gleichungssystem liefert. Aus den Primärwerten der unbekannten Größen w_z, φ_x und φ_y in den Knoten werden dann die innere Kräfte m_x, m_y, m_xy, v_x und v_y und Sie und die abgeleiteten Größen m₁, m₂ sowie die Reaktionswerte in Stützen berechnet.

2D-Elemente

Für die Qualität der Berechnungsergebnisse des Problems mit der Platten mithilfe der Finite-Elemente-Methode ist wesentlich durch den Typ von Plattenelemente beeinflusst. Für die Qualität der Berechnungsergebnisse des Problems mit der Platten mithilfe der Finite-Elemente-Methode ist wesentlich durch den Typ von Plattenelemente beeinflusst. Im Programm wurde eine Verformungsvariante FEM mit der dreieck- und viereckigen Elemente ausgewählt, die als DKMT und DKMQ (Discrete Kirchhoff-Mindlin Triangle a Quadrilateral) markiert sind.

Die Formulierung der Elemente basiert auf der diskreten Kirchhoff-Theorie der Biegung den dünnen Platten, die man als einen besonderen Fall der Midlin-Theorie der dicken Platen betrachtet werden, die aus folgenden Voraussetzungen herauskommt:

• Kompression der Platte in z-Richtung ist gegenüber dem absoluten Verschiebungswert W_z vernachlässigbar
• Normalen zur Mittelebene der Platte bleiben auch nach der Verformung direkte, stehen jedoch nicht mehr senkrecht zur Mittelebene der Platte
• Normalspannung σ_z ist klein im Vergleich zu den Spannungen σ_x, σ_y

DKMT- und DKMQ-Elemente haben 9 oder 12 Freiheitsgrade - In jedem Knoten erscheinen drei unabhängige Variablen:

Die Elemente erfüllen folgende Kriterien:

• Die Steifheitsmatrix hat den richtigen Rang (keine Verformungszustände mit Nullenergie).
• erfüllen sog. Patch-Test
• eignen sich zur Berechnung dünner und dicker Platten
• haben gute Konvergenzeigenschaften
• sind rechnerisch anspruchslos

Wenn das Netz qualitativ erzeugt wird, können bei der Auswahl des Netztyps ein wenig viereckige Elemente bevorzugt werden, die im Allgemeinen bessere Eigenschaften als dreieckige Elemente aufweisen.

1D-Elemente

Die Platte kann mit Balken verstärkt werden, für die ein eindimensionales Gitterelement mit den Verschiebungen W_z, φ_x und φ_y und den resultierenden inneren Kräfte M₁, M₂ und V₃ (Torsion, Biegemoment und Scherkraft) implementiert ist, das mit Plattenelementen kompatibel ist (Details in der Literatur). Der Balken zeichnet sich durch Trägheitsmomente I_t und I₂ (Torsion, Biegung), Fläche A und Scherfläche A_s aus. Diese Querschnittseigenschaften können im Programm anhand des Querschnittstyps aus seinen geometrischen Abmessungen nachfolgend berechnet werden. Bei der Berechnung wird eine lokale 6x6-Steifheitsmatrix für die Balken erstellt, die in der globalen Steifheitsmatrix der Konstruktion angewendet wird.

Literatur:

I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part I: An extended DKT element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1859-1883 (1993).

I. Katili, A new discrete Kirchhoff-Mindlin element based on Mindlin-Reissner plate theory and assumed shear strain fields - part II: An extended DKQ element for thick-plate bending analysis, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 36, 1885-1908 (1993).

Z. Bittnar, J. Sejnoha, Numericke metody mechaniky, CVUT, Praha, 1992.