Spencer
O método de Spencer baseia-se na análise do estado de equilíbrio limite, considerando a divisão do perfil do talude em blocos. Este método implica a verificação de equilíbrio para as forças e momentos que atuam em cada bloco. Os blocos consistem em divisões do perfil do talude, por planos. A figura seguinte mostra as forças que atuam em cada bloco.
Esquema das forças atuantes - Método de Spencer
Cada bloco estará sujeito às forças seguintes:
Wi | - | peso do bloco, incluindo o valor da componente material vertical de sobrecargas com direção descendente, considerando a influência do coeficiente sísmico vertical Kv |
Kh*Wi | - | momento de inércia horizontal considerando o efeito sísmico, onde Kh é o coeficiente sísmico horizontal |
Ni | - | força normal atuante na superfície do talude |
Ti | - | força de cisalhamento atuante na superfície do talude |
Ei ,Ei+1 | - | forças exercidas por blocos vizinhos, com um ângulo de inclinação δ medido a partir do plano horizontal |
Fxi,Fyi | - | outras forças horizontais e verticais atuantes no bloco |
M1i | - | momentos das forças Fxi, Fyi em relação ao ponto M, que representa o centro do iésimo segmento da superfície de deslizamento |
Ui | - | empuxo resultante no iésimo segmento da superfície de deslizamento |
No cálculo do equilíbrio limite de forças e momentos de cada bloco através do método de Spencer, são assumidas as seguintes premissas:
- os planos que divisores dos blocos são sempre verticais
- a linha de ação do peso do bloco Wi atravessa o centro do iésimo segmento da superfície de deslizamento, representado pelo ponto M
- a força normal Ni atua no centro do iésimo segmento da superfície de deslizamento, representado pelo ponto M
- a inclinação das forças Ei que atuam entra blocos é constante para todos os blocos e é igual a δ, com δ = 0 apenas nos pontos limite da superfície de deslizamento
A solução assenta nas seguintes equações:
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
onde: | φi | - | ângulo de atrito interno do solo no segmento da superfície de deslizamento |
ci | - | coesão do solo no segmento da superfície de deslizamento | |
αi | - | inclinação do segmento da superfície de deslizamento |
A Equação (1) representa a relação entre os valores efetivo e total da força normal atuante na superfície de deslizamento. A Equação (2) corresponde à condição de Mohr-Coulomb que representa a relação entre as forças normal e de cisalhamento para um dado segmento da superfície de deslizamento. A Equação (3) representa a equação de equilíbrio de forças com direção normal ao iésimo segmento da superfície de deslizamento, enquanto que a Equação (4) representa o equilíbrio de forças com a direção do iésimo segmento da superfície de deslizamento. FS é o fator de segurança, que é utilizado para reduzir os valores das características do solo. A Equação (5) corresponde à equação de equilíbrio de momentos no ponto M, onde ygi é a coordenada vertical do ponte de aplicação do peso do bloco e yM é a coordenada vertical do ponto M. A partir das Equações (3) e (4) obtém-se a seguinte equação:
Esta fórmula permite calcular todas as forças Ei que atuam entre blocos, para os valores de δi e FS considerados. Esta solução assume que o valor de E para a origem da superfície de deslizamento é conhecido e igual a E1 = 0.
A partir da Equação (5) de equilíbrio de momentos obtém-se a seguinte equação:
Esta equação permite calcular, para um dado valor de δ, todos os braços z das forças atuantes entre blocos, conhecendo o valor à esquerda da origem da superfície de deslizamento, onde z1 = 0.
O fator de segurança FS é determinado através do seguinte processo iterativo:
- O valor inicial de δ é definido como zero δ = 0.
- O fator de segurança FS para um dado valor de δ é obtido a partir da Equação (6), assumindo o valor de En+1 = 0 no limite da superfície de deslizamento.
- O valor de δ é obtido através da Equação (7) considerando os valores de E determinados no passo anterior, respeitando a condicionante do momento no último bloco ser zero. A Equação (7) não permite obter o valor de zn+1, uma vez que este é igual a zero. Para este valor, a Equação (5) de equilíbrio de momentos deve ser verificada.
- Os passos 2 e 3 são repetidos até que o valor de δ deixe de variar.
Para que o processo iterativo estabilize, é necessário evitar soluções instáveis. Estas instabilidades podem ocorrer quando se verificarem divisões por zero nas Equações (6) e (7). Na Equação (7), a divisão por zero verifica-se quando δ = π/2 ou δ = -π/2. Assim, o valor do ângulo δ deve estar compreendido no intervalo (-π/2 ; π/2).
Na Equação (6), a divisão por zero verifica-se quando:
Outra verificação que deve ser verificada para prevenir a instabilidade numérica é a do parâmetro mα - a seguinte condição deve ser verificada:
Assim, antes de iniciar o processo iterativo, é necessário obter o valor mais crítico FSmin que satisfaça todas as condições referidas. Os valores inferiores a este valor crítico FSmin representam soluções instáveis, sendo que o processo iterativo terá início com a definição de FS como um valor imediatamente acima de FSmin e, consequentemente, todos os valores de FS do processo iterativo serão superiores a FSmin.
Geralmente, a convergência de métodos rigorosos é pior que a de métodos mais simples (Bishop, Fellenius). Como exemplos, os problemas de convergência podem ser encontrados para secções demasiado inclinadas de superfícies de deslizamento, geometrias complexas, variações de sobrecargas elevadas, etc. Caso não seja obtido nenhum resultado, é recomendável uma ligeira alteração nos dados introduzidos, ex.: inclinação da superfície de deslizamento menos acentuada, introduzir mais pontos na superfície de deslizamento, etc, ou recorrer a métodos mais simples.
Bibliografia:
Spencer, E. 1967. A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel interslice forces. Géotechnique, 17(1): 11-26.